Patchy Vector Fields and Asymptotic Stabilization

This paper is concerned with the structure of asymptotically stabilizing feedbacks for a nonlinear control system on R n . We rst introduce a family of discontinuous, piecewise smooth vector elds and derive a number of properties enjoyed by solutions of the corresponding O.D.E's. We then dene a class of \patchy feedbacks" which are obtained by patching together a locally nite family of smooth controls. Our main result shows that, if a system is asymptotically controllable at the origin, then it can be stabilized by a piecewise constant patchy feedback control. R esum e. Dans cet article, on consid ere la structure de lois de feedback qui stabilisent asymptotique- ment un syst eme de contr^ ole non lin eaire. Nous etudions une famille de champs de vecteurs discontinus, r eguliers par morceaux, et d emontrons de nombreuses propri et es satisfaites par les equations di eren- tielles ordinaires correspondantes. En outre, nous d enissons une classe de \feedbacks rapi ec es" qui sont obtenus par la superposition d'une famille localement nie de contr^ oles r eguliers. Notre r esultat principal montre que, si le syst eme est asymptotiquement contr^ olable a l'origine, alors il peut ^ stabilis e par un \feedback rapi ec e", constant par morceaux. AMS Subject Classication. 34A, 34D, 49E, 93D.