Mehrgitterverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen im laminaren und turbulenten Regime unter Berücksichtigung verschiedener Stabilisierungsmethoden

Stromungen, die in freier Natur vorkommen, sind meist von turbulentem Charakter. Sie sind wenig geordnet und beinhalten auch zufallige Zustande, die sehr schwer zu modellieren sind. Ein sehr interessantes Turbulenzmodell stellt die Grobstruktursimulation bzw. Large Eddy Simulation (LES) dar. Dieses Modell basiert auf lokal raumgemittelten Grosen. Dadurch ist eine zeitliche Historie der Stromungsstrukturen darstellbar, wobei kleine raumliche Variationen ausgemittelt und durch ein Modell ersetzt werden. In dieser Arbeit werden zwei dieser Modelle eingesetzt, um die nicht aufgelosten raumlichen Strukturen zu modellieren, das dynamische Modell von Germano und das gemischte Modell von Zang et al., die sich beide bereits bei vielen Anwendungen bewahrt haben. Das Interesse liegt dabei aber nicht auf den physikalischen Eigenschaften der Modelle und auch nicht auf deren Weiterentwicklung, sondern vielmehr auf dem Zusammenspiel der Diskretisierung mit den Turbulenzmodellen. Darunter ist zu verstehen, das im Falle einer turbulenten Simulation andere Anforderungen an die Diskretisierung gestellt werden, als dies im laminaren Bereich der Fall ist. Dazu gehort die Approximation des Konvektionsoperators, der moglichst wenig bis keine numerische Diffusion enthalten sollte, sowie die Stabilisierung des diskreten Gleichungssystems, die auch im turbulenten Fall gewahrleistet sein mus. Je nach Einstellung der Diskretisierung konnen sich dabei drastische Unterschiede ergeben. Zu einer erfolgreichen turbulenten oder auch laminaren Simulation ist also eine ausreichend genaue Diskretisierung erforderlich. Insbesondere ist es unerlaslich, die besonderen Eigenschaften der eingesetzten Diskretisierung zu kennen. Dazu gehort naturlich ganz besonders das Verhalten der Stabilisierung, die aufgrund der nicht-gestaffelten Anordnung der Unbekannten notwendig ist. Zwei Moglichkeiten zur Stabilisierung des Gleichungssystems werden untersucht, die auf Raw bzw. Karimian zuruckgehen. Dabei wird eine spezielle Interpolation der Geschwindigkeitskomponenten in Abhangigkeit vom Druck bestimmt, die eine Art kunstliche Diffusion in die Kontinuitatsgleichung einbringt, die rein lokal und aus der Stromungssituation heraus entsteht. Die beiden Ansatze zur Stabilisierung resultieren dabei in unterschiedlichen Kopplungen zwischen den Geschwindigkeitskomponenten und dem Druck und fuhren somit zu unterschiedlichen Eigenschaften des resultierenden Gleichungssystems. Der grundlichen Untersuchung der Diskretisierung inklusive der zwei Stabilisierungsansatze ist diese Arbeit gewidmet. Als Kriterien zur Beurteilung dienen der Diskretisierungsfehler, v.a. der Massenerhaltungsfehler, das Konvergenzverhalten des Mehrgitterverfahrens sowie der Vergleich mit der exakten Losung bzw. mit Ergebnissen aus der Literatur. Nach grundlegenden Tests im laminaren Bereich, kann die Diskretisierung schlieslich auch im turbulenten Fall uberpruft werden. Dabei wird vor allem das Verhalten der beiden Stabilisierungsansatze in Kombination mit den betrachteten Turbulenzmodellen untersucht.