Sur la structure mathématique et l'approximation numérique de l'hydrodynamique lagrangienne bidimensionnelle

Ce travail etudie une nouvelle formulation des equations d'Euler compressibles ecrites en coordonnees lagrangiennes multidimensionnelles, sous la structure d'un systeme de lois de conservation associe a une contrainte de divergence nulle. Cette structure s'applique egalement a une physique plus large, incluant par exemple la magnetohydrodynamique. Elle permet l'etude mathematique du probleme global couplant les inconnues physiques avec les inconnues geometriques associees au deplacement de la matiere. Nous montrons que la partie physique du systeme, dont l'ensemble est faiblement hyperbolique, est symetrisable sous cette contrainte, alors que la perte de regularite des inconnues geometriques est caracteristique des cisaillements. Nous construisons ensuite une methode d'approximation originale, de type Volumes-Finis sur maillage mobile, avec degres de liberte aux noeuds. Le schema repose uniquement sur des considerations physiques (principe de conservation, croissance de l'entropie), qui assurent sa stabilite ainsi qu'un resultat de positivite et de non-croisement sur maillage triangulaire. On montre theoriquement qu'il converge avec un ordre sur les equations lineaires de l'acoustique. Enfin, une extension a la geometrie axisymetrique generalise la structure symetrisee et la contrainte differentielle, ainsi que la methode d'approximation associee.