Ondelettes, paraproduits et navier-stokes

Dans cette these nous donnons quelques theoremes d'existence et unicite de solutions mild du probleme de Cauchy associe aux equations de Navier-Stokes. Dans la premiere partie, inspires par une approche en ondelettes etablie par P. Federbush, nous utilisons la decomposition de Littlewood-Paley pour en deduire un theoreme d'existence et unicite locale de solutions mild a valeurs dans un espace de Banach abstrait de distributions. Nombreux exemples de tels espaces seront fournis, comme ceux de Lebesgue, Sobolev, Morrey-Campanato et Besov. La deuxieme partie de la these est consacree aux solutions globales mild dans des espaces de Banach dont la norme est invariante par les dilatations normalisees. En particulier, nous generalisons un resultat classique du a t. Kato en faisant remarquer que le temps de vie de sa solution globale est, en effet, donne par une norme Besov plus faible que celle usuelle de Lebesgue ne le laissait prevoir. Enfin, nous montrons comment utiliser lesdits espaces de Besov pour en deduire un theoreme d'existence et unicite de solutions auto-similaires pour les equations de Navier-Stokes