Berechnung von Kernelementen in Kooperativen Bestellmengen-Spielen

In diesem Beitrag betrachten wir den Fall einer horizontalen Kooperation im Bereich der Beschaffung. Jeder einzelne Besteller hat ein Problem der dynamischen Losgrosenplanung zu losen. Bei Kooperation konnen Kosten eingespart werden und es bleibt zu klaren, wie die anfallenden Bestellkosten unter den Akteuren aufzuteilen sind. Die kooperative Spieltheorie schlagt hier das Konzept des Kerns vor. Die Literatur beschaftigt sich bislang entweder mit vergleichsweise einfachen Problemen dieser Art bei denen eine Losung fur das Bestellmengenproblem analytisch hergeleitet und in einer geschlossenen Formel angegeben werden kann oder sie konzentriert sich auf eher theoretische Fragestellungen wie beispielsweise der Frage der Existenz eines Kernelements. Bislang unbekannt ist eine effiziente Methode mit der geklart werden kann, ob der Kern nicht–leer ist, und mit der ggf. ein Element des Kerns berechnet werden kann, wenn das zugrundeliegende Problem ein komplexes Optimierungsproblem ist fur das eine Losung nicht per Formel angegeben werden kann. Ein solcher Algorithmus soll hier vorgestellt werden. 1 Ein Bestellmengenproblem Ausgangspunkt unserer Betrachtung soll ein etabliertes Problem der Bestellmengenplanung sein: das sog. Wagner–Whitin Losgrosenproblem [WW58]. Fur dieses Problem sind effiziente Losungsverfahren bekannt, gleichwohl kann fur dieses Problem keine optimale Losung per geschlossener Formel angegeben werden. Das Problem kann wie folgt spezifiziert werden: Ein Besteller plant Bestellmengen fur T Perioden. Der Bedarf dt in den einzelnen Perioden ist bekannt. Um den Bedarf in einer Periode t zu decken, kann eine Bestellung in Periode t oder fruher aufgegeben werden. Wird eine Bestellung zeitlich vor dem Bedarfstermin ausgelost, so muss die bestellte Ware eingelagert werden. Dabei fallen Stuckkosten in Hohe von ht Geldeinheiten am Ende der Periode t an. Eine Bestellung in Periode t verursacht Fixkosten in Hohe von st Geldeinheiten. Ggf. fallen zusatzlich Stuckkosten der Bestellung in Hohe von pt Geldeinheiten an. Gesucht werden die Bestellmengen qt in den Perioden. Es den Bestellmengen und den Bedarfen ergeben sich die Periodenendlagerbestande It (O.B.d.A. sei der bekannte Lagerbestand I0 zu Beginn der ersten Periode null). Ein gemischt–ganzzahliges Modell konkretisiert dieses Problem mathematisch prazise (der Parameter M ist eine hinreichend grose Zahl und die binare Entscheidungsvariable xt signalisiert, ob in einer Periode eine Bestellung ausgelost wird