The Rise of non-Archimedean Mathematics and the Roots of a Misconception I: The Emergence of non-Archimedean Systems of Magnitudes

As a matter of fact, it is by no means impossible to build up a consistent " non-Archimedean " theory of magnitudes in which the axiom of Eudoxus (usually named after Archimedes) does not hold.

[1]  O. Veblen.  Definition in terms of order alone in the linear continuum and in well-ordered sets , 1905 .

[2]  Azriel Levy.  Basic set theory , 1979 .

[3]  E. Scholz.  Umberto Bottazzini: The Higher Calculus: A History of Real and Complex analysis from Euler to Weierstrass. Translated from the Italian by W. van Egmond. New York/Berlin/Heidelberg/London/Paris/Tokyo: Springer 1986. 8 Fig. VII + 332 Seiten. , 1987 .

[4]  I. H. Fichte,et al.  Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik , 2022 .

[5]  B. H. Neumann,et al.  On ordered division rings , 1949 .

[6]  Umberto Bottazzini,et al.  The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass , 1986 .

[7]  Philip Ehrlich,et al.  Real Numbers, Generalizations of the Reals and Theories of Continua (Synthese Library, Vol. 242) , 1994 .

[8]  Leif Arkeryd.  Nonstandard Analysis , 2005, Am. Math. Mon..

[9]  Hermann v. Helmholtƶ.  Zählen und Messen, erkenntnistheoretisch betrachtet , 1971, Philosophische Vorträge und Aufsätze.

[10]  G. Hardy.  Properties of Logarithmico‐Exponential Functions , 2022 .

[11]  W. Luxemburg.  Non-Standard Analysis , 1977 .

[12]  F. Enriques.  Prinzipien der Geometrie , 1910 .

[13]  O. Hölder,et al.  Die mathematische Methode : logisch erkenntnistheoretische Untersuchungen im Gebiete der Mathematik, Mechanik und Physik , 1926 .

[14]  Giuseppe Veronese,et al.  Grundzüge der Geometrie von mehreren Dimensionen und mehreren Arten gradliniger Einheiten in elementarer Form entwickelt , 2022 .

[15]  Richard A. Rempel,et al.  The Collected Papers of Bertrand Russell, Volume 15: Uncertain Paths to Freedom: Russia and China 1919-1922 , 2000 .

[16]  R. Dedekind,et al.  Was sind und was sollen die Zahlen , 1961 .

[17]  Archive for History of Exact Sciences , 1960, Nature.

[18]  É. Borel.  Leçons sur la théorie des fonctions , 2009 .

[19]  C. Peirce,et al.  Collected Papers of Charles Sanders Peirce , 1936, Nature.

[20]  H. T. H. P..  Einleitung in die Mengenlehre , 1929, Nature.

[21]  Philip Ehrlich,et al.  Hahn’s Über die Nichtarchimedischen Grössensysteme and the Development of the Modern Theory of Magnitudes and Numbers to Measure Them , 1995 .

[22]  J. Conway.  On Numbers and Games , 1976 .

[23]  Herbert Meschkowski.  Aus den Briefbüchern Georg Cantors , 1965 .

[24]  J. Dauben.  C. S. Peirce's Philosophy of Infinite Sets , 1977 .

[25]  G. Cantor,et al.  Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre : ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen , 1883 .

[26]  D. Hilbert,et al.  Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals in Göttingen , 2009 .

[27]  G. Cantor,et al.  Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , 1934 .

[28]  Johannes Thomae,et al.  Abriss einer Theorie der complexen Functionen und der Thetafunctionen einer Veränderlichen , 2022 .

[29]  Jonathan Barzilai,et al.  On the foundations of measurement , 2001, 2001 IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetics. e-Systems and e-Man for Cybernetics in Cyberspace (Cat.No.01CH37236).

[30]  G. Peano.  Notations de logique mathématique , 1894 .

[31]  Georg Cantor,et al.  Georg Cantor : Briefe , 1991 .

[32]  Gerhard Hessenberg.  Grundbegriffe der Mengenlehre , 1906 .

[33]  M. Dehn.  Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck , 1900 .

[34]  H. Hahn,et al.  Über die nichtarchimedischen Größensysteme , 1995 .

[35]  W. Killing.  Die Nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung , 1885 .

[36]  Joseph W. Dauben,et al.  Abraham Robinson: The Creation of Nonstandard Analysis, A Personal and Mathematical Odyssey , 1995 .

[37]  Philip Ehrlich.  Number systems with simplicity hierarchies: a generalization of Conway's theory of surreal numbers , 2001, Journal of Symbolic Logic.

[38]  P. Bois-Reymond.  Ueber die Paradoxen des Infinitärcalcüls , 1877 .

[39]  A. H. Clifford,et al.  Note on Hahn’s theorem on ordered abelian groups , 1954 .

[40]  H. G. Dales,et al.  Super-Real Fields: Totally Ordered Fields with Additional Structure , 1996 .

[41]  Jaap Van Brakel,et al.  Foundations of measurement , 1983 .

[42]  G. A. Dirac,et al.  Moderne Algebra. I , 1951 .

[43]  Matthew E. Moore.  A Cantorian Argument Against Infinitesimals , 2004, Synthese.

[44]  L. Fuchs.  Note on fully ordered semigroups , 1964 .

[45]  H. Jerome Keisler,et al.  The Hyperreal Line , 1994 .

[46]  Paul du Bois-Reymond.  Eine neue Theorie der Convergenz und Divergenz von Reihen mit positiven Gliedern. , 1873 .

[47]  von David Hilbert.  Über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleich-schenkligen Dreieck , 1902 .

[48]  G. M..  Grundlagen der Geometrie , 1909, Nature.

[49]  G. Cantor.  Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen , 1872 .

[50]  Erik Sageng.  The development of Newtonian calculus in Britain, 1700–1800: By Niccolò Guicciardini. Cambridge/New York (Cambridge University Press). 1989. xii + 228 pp. $54.50 , 1991 .

[51]  Zur Proportionslehre. (Mit 3 Figuren im Text) , 1903 .

[52]  P. Natorp.  Die logischen Grundlagen der exakten Wissenschaften , 1911 .

[53]  Mary Tiles,et al.  Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. , 1982 .

[54]  Abraham Robinson.  Selected papers of Abraham Robinson , 1978 .

[55]  Gregory H. Moore.  Zermelo’s Axiom of Choice , 1982 .

[56]  L. Rédei.  CHAPTER I – SET-THEORETICAL PRELIMINARIES , 1967 .

[57]  Katrina Relief,et al.  WITH INFINITE , 2007 .

[58]  O. Niccoletti.  Sulla formula di Taylor , 1903 .

[59]  D. Laugwitz.  Debates about infinity in mathematics around 1890: The Cantor-Veronese controversy, its origins and its outcome , 2002 .

[60]  T. J. I'A. B..  Orders of Infinity: the “Infinitärcalcül” of Paul du Bois-Reymond , 1911, Nature.

[61]  Herbert Meschkowski.  Probleme des Unendlichen , 1967 .

[62]  Sibylla Prieß-Crampe,et al.  Angeordnete Strukturen : Gruppen, Körper, projektive Ebenen , 1983 .

[63]  Wacław Sierpiński,et al.  Cardinal and Ordinal Numbers , 1966 .

[64]  P. Bois-Reymond.  Ueber asymptotische Werthe, infinitäre Approximationen und infinitäre Auflösung von Gleichungen , 1875 .

[65]  F. Ramsey.  The foundations of mathematics , 1932 .

[66]  H. Weyl.  Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft , 1927 .

[67]  A. Burks,et al.  The new elements of mathematics , by Charles S . Peirce , Carolyn Eisele , 2007 .

[68]  Michael Hallett.  Cantorian set theory and limitation of size , 1984 .

[69]  A. Kosinski,et al.  :From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics , 2003 .

[70]  Abraham Robinson,et al.  Function Theory on Some Nonarchimedean Fields , 1973 .

[71]  Giuseppe Veronese.  On Non-Archimedean Geometry , 1994 .

[72]  G. Cantor.  Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen , 1872 .

[73]  Siméon-Denis Poisson,et al.  Traité de mécanique , 1833 .

[74]  Lou van den Dries,et al.  Fields of surreal numbers and exponentiation , 2001 .

[75]  Bernhard Banaschewski.  Über die Vervollständigung geordneter Gruppen , 1957 .

[76]  Fred B. Schneider,et al.  A Theory of Sets , 1993 .

[77]  F. Behrend,et al.  A contribution to the theory of magnitudes and the foundations of analysis , 1955 .

[78]  C. H. Edwards.  The historical development of the calculus , 1979 .

[79]  Herbert Meschkowski.  Probleme des Unendlichen ; Werk und Leben Georg Cantors , 1967 .

[80]  A. Schoenflies,et al.  Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten : Bericht erstattet der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 1908 .

[81]  C. S. Nagore,et al.  On naturally ordered semigroups , 1979 .

[82]  Émile Borel,et al.  Mémoire sur les séries divergentes , 1899 .

[83]  L. Balser.  Ueber den Fundamentalsatz der projectiven Geometrie , 1901 .

[84]  G. Cantor.  Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre , 1897 .

[85]  G. Fisher,et al.  The infinite and infinitesimal quantities of du Bois-Reymond and their reception , 1981 .

[86]  D. Laugwitz,et al.  Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung , 1958 .

[87]  B. Russell.  The Principles of Mathematics , 1938 .

[88]  E. Meißel.  Lehrbuch der Arithmetik und Algebra für höhere Lehranstalten bearbeitet , 1861 .

[89]  F. Hausdorff,et al.  Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen , 1908 .

[90]  Wilhelm b. Killing.  Einführung in die Grundlagen der Geometrie , 1983 .

[91]  Carl B. Boyer.  The concepts of the calculus : a critical and historical discussion of the derivative and the integral , 1939 .

[92]  Ross Gagliano,et al.  Review of , 2006, UBIQ.

[93]  Countably Complementable,et al.  LINEAR ORDERINGS , 2006 .

[94]  T. Crilly.  From Kant to Hilbert: a sourcebook in the foundations of mathematics , William Ewald (ed.). 2 vols. Pp. 1340. 1999. £50 (Paperback). ISBN 0 19 850537 X (Oxford University Press). , 2000, The Mathematical Gazette.

[95]  Henk J. M. Bos,et al.  Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian calculus , 1974 .

[96]  A. H. Clifford,et al.  Naturally Totally Ordered Commutative Semigroups , 1954 .

[97]  Philip Ehrlich,et al.  FROM COMPLETENESS TO ARCHIMEDEAN COMPLETENES , 2004, Synthese.

[98]  O. Stolz.  Zur Geometrie der Alten, insbesondere über ein Axiom des archimedes , 1883 .

[99]  Positively Ordered Semigroups , 1979 .

[100]  W. Knorr.  Archimedes after Dijksterhuis: A Guide to Recent Studies , 1987 .

[101]  O. Veblen.  Book Review: The Continuum as a Type of Order: An Exposition of the Modern Theory. With an Appendix on the Transfinite Numbers , 1906 .

[102]  Immanuel Hermann Fichte,et al.  Zeitschrift für Philosophie und philosphische Kritik 1889 , .

[103]  The Metaphysics of the Calculus , 1967 .

[104]  Hermann Grassmann,et al.  Gesammelte mathematische und physikalische Werke , 1894 .

[105]  Hans Hahn,et al.  Die mathematische Methode , 1926 .

[106]  Renatus Ziegler,et al.  On the Foundations of Set Theory , 1996 .

[107]  Abraham Adolf Fraenkel,et al.  Abstract set theory , 1953 .

[108]  Dichte, Archimedizität und Starrheit geordneter Körper , 1970 .

[109]  M. Kline.  Mathematics: The Loss of Certainty , 1982 .

[110]  Michell,et al.  The Axioms of Quantity and the Theory of Measurement , 1996, Journal of mathematical psychology.

[111]  Neue Begründung der ebenen Geometrie , 1907 .

[112]  R. H.,et al.  The Principles of Mathematics , 1903, Nature.

[113]  David Hilbert,et al.  Grundlagen der Geometrie , 2022 .

[114]  A. H. Clifford,et al.  Totally ordered commutative semigroups , 1958 .

[115]  O. Stolz.  Ueber das Axiom des Archimedes , 1891 .

[116]  Georg Cantor.  Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten , 1984 .

[117]  W. Groß.  Grundzüge der Mengenlehre , 1915 .

[118]  Nicolas Bourbaki,et al.  Elements of mathematics , 2004 .

[119]  Wilhelm Killing.  Ueber die Grundlagen der Geometrie. , 1892 .

[120]  Hans Hahn,et al.  Gesammelte Abhandlungen , 1934 .

[121]  A. Mcgettigan,et al.  Eu cl idean Geometry , 2015 .

[122]  Sulla Derivabilita,et al.  RENDICONTI DEL CIRCOLO MATEMATICO DI PALERMO , 2008 .

[123]  Philip Ehrlich.  Dedekind cuts of Archimedean complete ordered abelian groups , 1997 .

[124]  Paul Bois-Reymond.  Sur la grandeur relative des infinis des fonctions , 1870 .

[125]  Georg Cantor.  Fondements d'une théorie générale des ensembles , 1883 .

[126]  I. Moerdijk,et al.  Models for smooth infinitesimal analysis , 1990 .

[127]  Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik , 1889 .

[128]  O. Stolz.  B. Bolzano's Bedeutung in der Geschichte der Infinitesimalrechnung , 1881 .

[129]  Veronica Gavagna.  Sui fondamenti della geometria , 2008 .

[130]  H. Kunkel.  GENERAL INTRODUCTION , 1971, The Journal of experimental medicine.

[131]  Gregory H. Moore.  Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence , 1982 .

[132]  Philip W. Carruth,et al.  Arithmetic of ordinals with applications to the theory of ordered Abelian groups , 1942 .

[133]  C. Goffman,et al.  The topology of ordered Abelian groups , 1949 .

[134]  Bolyai János Matematikai Társulat,et al.  Algebraic theory of semigroups , 1979 .

[135]  G. Cantor,et al.  Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten , 1887 .

[136]  E. R. Hedrick,et al.  Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Arithmetic. Algebra. Analysis , 1933 .

[137]  Darboux,et al.  Bulletin des Sciences Mathématiques , 1889 .

[138]  James R. Munkres,et al.  Topology; a first course , 1974 .

[139]  Hermann von Helmholtz,et al.  Numbering and Measuring from an Epistemological Viewpoint , 1977 .