Iteration of endomorphisms on the real axis and representation of numbers

We study a class of endomorphisms of the set of real numbers x of the form: ~ 2014~ ~/M, ~ E [0, 2]. The function f is continuous, convex with a single maximum but otherwise arbitrary; A is a real parameter. We focus our attention on periodic points : x E [0, 2] is periodic if there exists an integer n such that the nth iterate of x by ~.f coincides with x. Because of their special importance, we restrict ourselves to periods involving the maximum. As shown by Metropolis et ul., for each mapping, one may represent in a non ambiguous way these periods by finite sequences of symbols Rand L [the i th iterate of the maximum is represented by R (right) or L (left) depending on its position relatively to maximum] and these sequences have many universal properties. For example they can be ordered in a way which does not depend on details of the mapping. In this paper, we prove two points : i~ the ordered set of all the symbolic sequences possesses a property of internal similarity : it is possible to find a monotonous application of the whole set into one of its subsets ; ii3 we give a simple criterion for recognizing whether a sequence is allowed or not and to know in which order two given sequences appear. For reasons of universality property, it will be sufficient to derive these results for the simplest case, namely the « linear )) transform, i. e. We are led to define an expansion of real numbers analogous to 03B2-expansion of Renyi. A few other properties of this peculiar case are briefly discussed. (*) Institut von Laue-Langevin, B. P. 156, 38042 Grenoble Cedex de l’lnstitut Poincaré Section A Vol. XXIX, nO 3 1978. 12 306 B. DERRIDA, A. GERVOIS, Y. POMEAU RESUME. 2014 On etudie une classe d’endomorphismes de 1’ensernble des nombres réels x, de la forme La fonction f est continue, convexe avec un seul maximum mais par ailleurs arbitraire ; A est un parametre reel. Nous nous interessons surtout aux points périodiques: x E [0,2] est periodique s’il existe un entier n tel que Ie nième itere de x par 03BBf coïncide avec x. En raison de leur importance particuliere, nous nous limitons aux periodes comprenant Ie maximum. Comme l’ont montre Metropolis et ses collaborateurs, ces periodes peuvent etre representees de maniere non ambigue par des sequences finies de symboles R et L [Ie itere du sommet est represente par R (« right ») ou L (« left ))) suivant sa position relative par rapport au maximum] et ces sequences ont des proprietes universelles. Par exemple, on peut les ordonner d’une maniere qui ne depend pas de 1’application. Dans cet article, on clarifie 2 points : i) 1’ensemble ordonné de toutes ces sequences symboliques presente une propriete d’homothetie interne : on peut trouver une application monotone de tout 1’ensemble dans l’une de ses parties, ii) on donne un critere simple pour decider si une sequence est autorisee et pour savoir dans quel ordre relatif deux sequences apparaissent. En raison de l’universalité, il suffit de montrer ces proprietes pour Ie cas Ie plus simple, 1’application « lineaire » On est amene a definir un developpement des nombres reels semblables au 03B2-développement de Renyi. Quelques proprietes supplementaires liees a ce cas particulier sont egalement discuses.