Measure dynamics in measure spaces and scaled entropy

Настоящий обзор посвящен новому направлению в теории динамических систем: динамике метрик в пространствах с мерой и новым (каталитическим) инвариантам преобразований с инвариантной мерой. Пространство с согласованными мерой и метрикой (метрические тройки или mm-пространства) автоматически определяет понятие своего энтропийного класса, позволяет построить иную и более общую по сравнению с теорией Шеннона-Колмогорова теорию энтропии динамических систем с инвариантной мерой. Незамеченный ранее намек на такую возможность высказывал еще К. Шеннон. Приводимая в статье классификация метрических троек с помощью матричных распределений принадлежит М. Громову и А. М. Вершику. Приводятся некоторые следствия и применения излагаемой теории. Библиография: 88 названий.

[1]  G. Veprev,et al.  Non-existence of a universal zero entropy system via generic actions of almost complete growth , 2022, 2209.01902.

[2]  A. Lott.  Zero entropy actions of amenable groups are not dominant , 2022, Ergodic Theory and Dynamical Systems.

[3]  G. Veprev.  The Scaling Entropy of a Generic Action , 2022, Journal of Mathematical Sciences.

[4]  Benjamin Weiss,et al.  An ergodic system is dominant exactly when it has positive entropy , 2021, Ergodic Theory and Dynamical Systems.

[5]  Carolyn Reinhart,et al.  Spectra of Variants of Distance Matrices of Graphs and Digraphs: A Survey , 2021, La Matematica.

[6]  Valery V. Ryzhikov,et al.  Compact families and typical entropy invariants of measure-preserving actions , 2021, Transactions of the Moscow Mathematical Society.

[7]  G. Veprev,et al.  Non-existence of a universal zero entropy system for non-periodic amenable group actions , 2020, Israel Journal of Mathematics.

[8]  G. Veprev.  Scaling Entropy of Unstable Systems , 2020, Journal of Mathematical Sciences.

[9]  Terry Adams,et al.  Genericity and Rigidity for Slow Entropy Transformations , 2020, 2006.15462.

[10]  A. Katok,et al.  Survey on entropy-type invariants of sub-exponential growth in dynamical systems , 2020, 2004.04655.

[11]  Guohua Zhang,et al.  Discrete spectrum for amenable group actions , 2019, Discrete & Continuous Dynamical Systems.

[12]  A. Vershik,et al.  On a Universal Borel Adic Space , 2019, Journal of Mathematical Sciences.

[13]  V. Bogachev,et al.  On the Equality of Values in the Monge and Kantorovich Problems , 2019, Journal of Mathematical Sciences.

[14]  A. Vershik,et al.  Combinatorial Invariants of Metric Filtrations and Automorphisms; the Universal Adic Graph , 2018, Functional Analysis and Its Applications.

[15]  T. Downarowicz,et al.  Universal Systems for Entropy Intervals , 2017 .

[16]  Adam Kanigowski,et al.  Slow Entropy of Some Parabolic Flows , 2017, Communications in Mathematical Physics.

[17]  F. Petrov.  Correcting continuous hypergraphs , 2017 .

[18]  Adam Kanigowski.  Slow entropy for some smooth flows on surfaces , 2016, Israel Journal of Mathematics.

[19]  A. Vershik,et al.  On the Classification Problem of Measurable Functions in Several Variables and on Matrix Distributions , 2016 .

[20]  L. Ros.  Can we classify complete metric spaces up to isometry , 2016, 1610.01750.

[21]  P. Zatitskiy.  On The Possible Growth Rate of a Scaling Entropy Sequence , 2016 .

[22]  F. Petrov,et al.  On the Subadditivity of a Scaling Entropy Sequence , 2016 .

[23]  Y. Pesin,et al.  Erratum to: Scaled Entropy for Dynamical Systems , 2016 .

[24]  P. Zatitskiy.  Scaling Entropy Sequence: Invariance and Examples , 2015 .

[25]  P. Zatitskiy.  On a scaling entropy sequence of a dynamical system , 2014, 1409.6134.

[26]  A. Vershik,et al.  Virtual continuity of measurable functions of several variables and embedding theorems , 2013 .

[27]  A. Vershik.  Long History of the Monge-Kantorovich Transportation Problem , 2013 .

[28]  J. Serafin.  Non-existence of a universal zero-entropy system , 2013 .

[29]  Karl-Theodor Sturm,et al.  The Space of Spaces: Curvature Bounds and Gradient Flows on the Space of Metric Measure Spaces , 2012, Memoirs of the American Mathematical Society.

[30]  A.Vershik,et al.  Geometry and Dynamics of Admissible Metrics in Measure Spaces , 2012, 1205.1174.

[31]  K. Juschenko,et al.  Cantor systems, piecewise translations and simple amenable groups , 2012, 1204.2132.

[32]  F. Petrov,et al.  Correction of metrics , 2011, 1112.2380.

[33]  Manjunath Krishnapur,et al.  Lipschitz correspondence between metric measure spaces and random distance matrices , 2011, 1110.6333.

[34]  A. Vershik.  The pascal automorphism has a continuous spectrum , 2011 .

[35]  A. Lodkin,et al.  Asymptotic behavior of the scaling entropy of the Pascal adic transformation , 2011 .

[36]  A. Kechris.  Global Aspects of Ergodic Group Actions , 2010 .

[37]  A.Vershik.  Dynamics of metrics in measure spaces and their asymptotic invariants , 2009, 0912.2123.

[38]  Anita Winter,et al.  Convergence in distribution of random metric measure spaces (Λ-coalescent measure trees) , 2009 .

[39]  A. Vershik,et al.  Compactness of the congruence group of measurable functions in several variables , 2007 .

[40]  Sébastien Ferenczi,et al.  Entropy dimensions and a class of constructive examples , 2006 .

[41]  L. Kantorovich.  On the Translocation of Masses , 2006 .

[42]  H. Helfgott.  Growth and generation in SL_2(Z/pZ) , 2005, math/0509024.

[43]  Anatoly M. Vershik,et al.  Kantorovich Metric: Initial History and Little-Known Applications , 2005 .

[44]  P. J. Cameron,et al.  Some isometry groups of the Urysohn space , 2004, Ann. Pure Appl. Log..

[45]  O. Bohigas,et al.  Spectral properties of distance matrices , 2003, nlin/0301044.

[46]  V. Koltchinskii,et al.  Random matrix approximation of spectra of integral operators , 2000 .

[47]  A. Vershik.  Representation theory and dynamical systems , 1992 .

[48]  Herbert E. Jordan,et al.  Group-Characters of Various Types of Linear Groups , 1907 .

[49]  A. Vershik,et al.  Limit spectral measures of the matrix distributions of the metric triples , 2023, Функциональный анализ и его приложения.

[50]  Анатолий Моисеевич Вершик,et al.  Одномерные центральные меры на нумерациях упорядоченных множеств , 2022, Функциональный анализ и его приложения.

[51]  Владимир Игоревич Богачев,et al.  Задача Канторовича оптимальной транспортировки мер: новые направления исследований , 2022, Uspekhi Matematicheskikh Nauk.

[52]  Анатолий Моисеевич Вершик,et al.  Комбинаторные инварианты метрических фильтраций и автоморфизмов; универсальный адический граф , 2018 .

[53]  Нелли Александровна Красовская,et al.  Теория передачи информации , 2017 .

[54]  Анатолий Моисеевич Вершик,et al.  Теория фильтраций подалгебр, стандартность и независимость@@@ , 2017 .

[55]  Попова Светлана Николаевна,et al.  О равенстве значений в задачах Монжа и Канторовича , 2017 .

[56]  Y. Pesin,et al.  Scaled Entropy for Dynamical Systems , 2015 .

[57]  Павел Борисович Затицкий,et al.  О масштабирующей энтропийной последовательности динамической системы@@@On a Scaling Entropy Sequence of a Dynamical System , 2014 .

[58]  Анатолий Моисеевич Вершик,et al.  Виртуальная непрерывность измеримых функций многих переменных и ее приложения@@@Virtual continuity of measurable multivariate functions and applications , 2014 .

[59]  Анатолий Моисеевич Вершик,et al.  Автоморфизм Паскаля имеет непрерывный спектр@@@The Pascal automorphism has a continuous spectrum , 2011 .

[60]  Sang Joon Kim,et al.  A Mathematical Theory of Communication , 2006 .

[61]  Анатолий Моисеевич Вершик,et al.  Классификация измеримых функций нескольких аргументов и инвариантно распределенные случайные матрицы@@@Classification of Measurable Functions of Several Variables and Invariantly Distributed Random Matrices , 2002 .

[62]  A. Vershik.  Random metric space is the universal Urysohn spaces , 2002 .

[63]  Анатолий Моисеевич Вершик,et al.  Универсальное пространство Урысона, метрические тройки Громова и случайные метрики на натуральном ряде@@@The universal Urysohn space, Gromov metric triples and random metrics on the natural numbers , 1998 .

[64]  M. Queffélec.  Substitution dynamical systems, spectral analysis , 1987 .

[65]  В. П. Ильин,et al.  Интегральные представления функций и теоремы вложения , 1975 .

[66]  C. Caramanis.  What is ergodic theory , 1963 .

[67]  В А Рохлин.  Об основных понятиях теории меры , 1949 .

[68]  J. Schur.  Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen. , 1907 .