Regular operators on partial inner product spaces

A regular operator on a partial inner product space V is an operator which, together with its adjoint, is defined on the whole space V. The set of all regular operators on V is a *-algebra, isomorphic to a *-algebra of unbounded operators on the dense domain V=#=. Their spectral properties are investigated; in particular, criteria are given for a symmetric regular operator to be essentially self-adjoint and for its self-adjoint closure to have regular spectral projections. Some applications , are discussed, in quantum mechanics and in the representation theory of Lie groups or algebras. RESUME. Un operateur regulier dans un espace a produit interne partiel Vest un operateur defini, ainsi que son adjoint, sur l’espace V tout entier. L’ensemble des operateurs reguliers sur Vest une *-algebre, isomorphe a une *-algèbre d’operateurs non bornes sur Ie domaine dense V*. On etudie leurs proprietes spectrales ; en particulier, on donne des criteres pour qu’un operateur regulier symetrique soit essentiellement auto-adj oint et pour que les projecteurs spectraux de sa fermeture autoadj ointe soient eux-memes des operateurs reguliers. Ces notions sont appliquees en mecanique quantique et dans la theorie des representations de groupes et algebres de Lie.