Numerical existence proofs and explicit bounds for solutions of nonlinear elliptic boundary value problems

For elliptic boundary value problems of the form −ΔU+F(x, U, Ux)=0 on Ω,B[U]=0 on ϖΩ, with a nonlinearityF growing at most quadratically with respect to the gradientUx and with a mixed-type linear boundary opeatorB, a numerical method is presented which can be used to prove the existence of a solution within a “close”H1,4(Ω)-neighborhood of some approximate solution ω∈H2(Ω) satisfying the boundary condition, provided that the defect-norm ∥−Δω +F(·, ω, ωx)∥2 is sufficiently small and, moreover, the linearization of the given problem at ω leads to an invertible operatorL. The main tools are explicit Sobolev imbeddings and eigenvalue bounds forL or forL*L. All kinds of monotonicity or inverse-positivity assumptions are avoided.ZusammenfassungGegeben sei ein elliptisches Randwertproblem der Form −ΔU+F(x, U, Ux)=0 auf Ω,B[U]=0 auf ϖΩ, mit einer NichtlinearitätF, die einer quadratischen Wachstumsbedingung bezüglich des GradientenUx genügt, und mit einem linearen RandoperatorB von gemischtem Typ. Es wird eine numerische Methode vorgestellt, mit deren Hilfe sich die Existenz einer Lösung innerhalb einer “kleinen”H1,4(Ω)-Umgebung einer Näherungslösung ω∈H2(Ω), die die Randbedingung erfüllt, nachweisen läßt, sofern die Defektnorm ∥−Δω +F(·, ω, ωx)∥2 hinreichend klein ist und ferner die Linearisierung des gegebenen Problems in ω auf einen invertierbaren OperatorL führt. Die wesentlichen Hilfsmittel sind explizite Sobolevsche Einbettungen und Eigenwertschranken fürL oderL*L. Jegliche Monotonie- und Inverspositivitätsbedingungen werden vermieden.