Dual approaches in stochastic programming. (Approches duales dans la résolution de problèmes stochastiques)

Le travail general de cette these consiste a etendre les outils analytiques et algebriques usuellement employes dans la resolution de problemes combinatoires deterministes a un cadre combinatoire stochastique. Deux cadres distincts sont etudies : les problemes combinatoires stochastiques discrets et les problemes stochastiques continus. Le cadre discret est aborde a travers le probleme de la foret couvrante de poids maximal dans une formulation Two-Stage a multi-scenarios. La version deterministe tres connue de ce probleme etablit des liens entre la fonction de rang dans un matroide et la formulation duale, via l'algorithme glouton. La formulation stochastique discrete du probleme de la foret maximale couvrante est transformee en un probleme deterministe equivalent, mais du fait de la multiplicite des scenarios, le dual associe est en quelque sorte incomplet. Le travail realise ici consiste a comprendre en quelles circonstances la formulation duale atteint neanmoins un minimum egal au probleme primal integral. D'ordinaire, une approche combinatoire classique des problemes de graphes ponderes consiste a rechercher des configurations particulieres au sein des graphes, comme les circuits, et a explorer d'eventuelles recombinaisons. Pour donner une illustration simple, si on change d'une maniere infinitesimale les valeurs de poids des aretes d'un graphe, il est possible que la foret couvrante de poids maximal se reorganise completement. Ceci est vu comme un obstacle dans une approche purement combinatoire. Pourtant, certaines grandeurs analytiques vont varier de maniere continue en fonction de ces variations infinitesimales, comme la somme des poids des aretes choisies. Nous introduisons des fonctions qui rendent compte de ces variations continues, et nous examinons dans quels cas les formulations duales atteignent la meme valeur que les formulations primales integrales. Nous proposons une methode d'approximation dans le cas contraire et nous statuons sur la NP completude de ce type de probleme.Les problemes stochastiques continus sont abordes via le probleme de sac a dos avec contrainte stochastique. La formulation est de type ``chance constraint'', et la dualisation par variable lagrangienne est adaptee a une situation ou la probabilite de respecter la contrainte doit rester proche de $1$. Le modele etudie est celui d'un sac a dos ou les objets ont une valeur et un poids determines par des distributions normales. Dans notre approche, nous nous attachons a appliquer des methodes de gradient directement sur la formulation en esperance de la fonction objectif et de la contrainte. Nous delaissons donc une possible reformulation classique du probleme sous forme geometrique pour detailler les conditions de convergence de la methode du gradient stochastique. Cette partie est illustree par des tests numeriques de comparaison avec la methode SOCP sur des instances combinatoires avec methode de Branch and Bound, et sur des instances relaxees.