Eine formale Semantik für die Verknüpfung von Verhaltensbeschreibungen in der UML 2

State Machines In diesem Kapitel wird der Formalismus der Abstract State Machines (ASMs) eingeführt. Mit den ASMs kann das Verhalten eines Systems formal beschrieben werden, wie im nächsten Abschnitt erläutert wird. In dieser Arbeit werden die ASMs verwendet, um die formalen Semantiken der einzelnen UML 2 Modelle und die Semantik für deren Verknüpfung zu spezifizieren (siehe Kapitel 4). Für eine detaillierte Einführung in die ASMs wird auf [Rei08] verwiesen. Umfassende Grundlagen und ausführliche Beispiele finden sich in [BS03]. 3.1 Einführung und Grundlagen Die Theorie hinter den Abstract State Machines beruht auf der Idee, dass ein Zustand eines Systems als mathematische Struktur beschrieben werden kann. Als Struktur werden Algebren verwendet, die einen Systemzustand mit Hilfe einer nicht–leeren Menge, des so genannten Universums, und Funktionen auf dieser Menge beschreiben. Um die Dynamik von Systemen auszudrücken, wird ein System von einem Zustand durch definierte Regeln in einen anderen Zustand gebracht. Gurevich beschrieb diese sich entwickelnden Algebren — evolving algebras — in [Gur93] und formulierte darauf aufbauend das Konzept der ASMs. Im Folgenden werden für ein besseres Verständnis der ASMs die Grundlagen für die Beschreibung eines Systems mit Zuständen und deren Überführung kurz erläutert. Die folgenden Definitionen 1 bis 7 werden aus [Gla05] übernommen. In der Arbeit von Glausch wird anhand eines Beispiels anschaulich die Theorie der sich verändernden Algebren eingeführt. Eine Signatur ist eine Menge von Funktionssymbolen, denen eine Stelligkeit zugeordnet ist. Definition 1 (Signatur). Eine Signatur Σ ist ein Tupel (f1, . . . , fk, n1, . . . , nk), wobei gilt: k ∈ N+, n1, . . . , nk ∈ N und f1, . . . , fk sind Funktionssymbole. Um semantische Informationen zu den rein syntaktischen Funktionssymbolen der Signatur hinzuzufügen, wird eine Σ–Algebra definiert. Sie weist den Funktionssymbolen f1, ..., fk Funktionen g1, . . . , gk zu und definiert ein Universum, auf dem die Funktionen operieren. Definition 2 (Σ–Algebra). Sei Σ = (f1, . . . , fk, n1, . . . , nk) eine Signatur. Sei A = (U, g1, . . . , gk) ein Tupel mit: U ist eine nicht–leere Menge, das Universum von A und für i = 1, . . . , k ist gi eine ni–stellige Funktion über U . Dann ist A eine Σ–Algebra. Mit einer Σ–Algebra lässt sich der Zustand eines Systems beschreiben. Zur Beschreibung von dynamischen Systemen, bei denen sich Zustände ändern und in Nachfolgezustände überführt werden,