Predicting Extinction Times from Environmental Stochasticity and Carrying Capacity

Managers of small populations often need to estimate the expected time to extinction Te of their charges. Useful models for extinction times must be ecologically realistic and depend on measurable parameters. Many populations become extinct due to environmental stochasticity, even when the carrying capacity K is stable and the expected growth rate is positive. A model is proposed that gives Te by diffusion analysis of the log population size nt (= loge Nt). The model population grows according to the equation Nt+1 = RtNt, with K as a ceiling. Application of the model requires estimation of the parameters k = logK, rd = the expected change in n, vr = Variance(log R), and ϱ the autocorrelation of the rt. These are readily calculable from annual census data (rd is trickiest to estimate). General formulas for Te are derived. As a special case, when environmental fluctuations overwhelm expected growth (that is rd 0), Te = 2no(k - no/2)/vr. If the rt are autocorrelated, then the effective variance is vre vr (1 + ϱ)/(1 - ϱ). The theory is applied to populations of checkerspot butterfly, grizzly bear, wolf, and mountain lion. Los administradores de pequenas poblaciones necesitan estimar, a menudo, el tiempo de extincion Te esperado de las poblaciones a su cargo. Modeles utiles para los tiempos de extincion deben ser ecologicamente realisticos y depender de parametros medibles. Muchas poblaciones se extinguen debido a la estocasticidad ambiental, aun cuando la capacidad de carga es estable y la tasa de crecimieto esperada es positiva. Se propone un modelo que da Te por medio de analisis de difusion del logaritmo del tamano poblacional nt (= loge Nt). La poblacion modelada crece de acuerdo a la ecuacion Nt+1 = RtNt, con K como techo. La aplicacion de este modelo requiere la estimacion del parametro k = logK, rd = cambio esperado en n, vr = Varianza (log R), y ϱ la autocorrelacion de rt. Estos son calculables a partir de datos de sensos anuales (rd es el mas dificil de estimar). Se derivan formulas generales para Te. Como caso especial, cuando las fluctuaciones ambientales dominan et crecimiento esperado (es decir, rd 0), Te = 2no (k - no/2)/vr. Si los rt estan autocorrelacionados, entonces la varianza efectiva es vre vr (1 + ϱ)/(1 - ϱ). La teoria es aplicada a poblaciones de mariposas “checkerspot,” osos grises, lobos y leones de montana.