A trajectorial approach to the gradient flow properties of Langevin-Smoluchowski diffusions

В статье обсуждается вариационная характеризация консервативной диффузии как градиентного потока энтропии и дается ее вероятностная интерпретация с помощью анализа возмущений на основе стохастического исчисления. Р. Джорданом, Д. Киндерлерером и Ф. Отто было показано, что для диффузионных процессов типа Ланжевена-Смолуховского поток Фоккера-Планка вероятностных плотностей максимизирует скорость диссипации относительной энтропии, измеряемой расстоянием, пройденным в окружающем пространстве вероятностных мер с конечными вторыми моментами, в смысле квадратичной метрики Васерштейна. Мы получаем новые, основанные на стохастических процессах, версии этих свойств, справедливые вдоль почти каждой траектории диффузионного движения при обратном течении времени, непосредственно используя методологию теории возмущений. Усредняя наши траекторные результаты относительно меры на пространстве траекторий, мы устанавливаем максимальную скорость диссипации энтропии вдоль потока Фоккера-Планка и точно измеряем отклонение от этого максимума, соответствующее любому заданному возмущению. Как следствие нашего траекторного подхода мы выводим HWI-неравенство, связывающее относительную энтропию (H), расстояние Васерштейна (W) и относительную информацию Фишера (I).

[1]  Mark H. A. Davis,et al.  A deterministic approach to optimal stopping with application to a prophet inequality , 1993 .

[2]  Walter Schachermayer,et al.  Trajectorial dissipation and gradient flow for the relative entropy in Markov chains , 2021, Commun. Inf. Syst..

[3]  D. Kinderlehrer,et al.  THE VARIATIONAL FORMULATION OF THE FOKKER-PLANCK EQUATION , 1996 .

[4]  David Williams,et al.  Probability with Martingales , 1991, Cambridge mathematical textbooks.

[5]  I. Karatzas,et al.  Trajectorial Otto calculus , 2018, 1811.08686.

[6]  Christian L'eonard.  Some properties of path measures , 2013, 1308.0217.

[7]  Christian L'eonard.  On the convexity of the entropy along entropic interpolations , 2013, 1310.1274.

[8]  R. McCann.  A Convexity Principle for Interacting Gases , 1997 .

[9]  Karl-Theodor Sturm,et al.  On the geometry of metric measure spaces. II , 2006 .

[10]  X. Mao,et al.  Stochastic Differential Equations and Applications , 1998 .

[11]  E. Carlen,et al.  Entropy production by block variable summation and central limit theorems , 1991 .

[12]  Hans Föllmer,et al.  An entropy approach to the time reversal of diffusion processes , 1985 .

[13]  B. M. Fulk.  MATH , 1992 .

[14]  N. H. Bingham,et al.  16. Probability, Statistics and Optimization: A Tribute to Peter Whittle , 1995 .

[15]  A. Kolmogoroff,et al.  Zur Umkehrbarkeit der statistischen Naturgesetze , 1937 .

[16]  J. Elgin.  The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and Applications , 1984 .

[17]  Dario Cordero-Erausquin,et al.  Some Applications of Mass Transport to Gaussian-Type Inequalities , 2002 .

[18]  L. Rogers.  Smooth Transition Densities for One‐Dimensional Diffusions , 1985 .

[19]  L. Ambrosio,et al.  Gradient Flows: In Metric Spaces and in the Space of Probability Measures , 2005 .

[20]  P. Meyer.  Sur une transformation du mouvement brownien due à Jeulin et Yor , 1994 .

[21]  C. Villani,et al.  Generalization of an Inequality by Talagrand and Links with the Logarithmic Sobolev Inequality , 2000 .

[22]  E. Schrödinger.  Sur la théorie relativiste de l'électron et l'interprétation de la mécanique quantique , 1932 .

[23]  F. Otto.  THE GEOMETRY OF DISSIPATIVE EVOLUTION EQUATIONS: THE POROUS MEDIUM EQUATION , 2001 .

[24]  É. Pardoux,et al.  Grossissement d'une filtration et retournement du temps d'une diffusion , 1986 .

[25]  L. Boltzmann.  Ueber die sogenannteH-Curve , 1898 .

[26]  A. J. Stam.  Some Inequalities Satisfied by the Quantities of Information of Fisher and Shannon , 1959, Inf. Control..

[27]  U. Haussmann,et al.  TIME REVERSAL OF DIFFUSIONS , 1986 .

[28]  M. Fathi.  A gradient flow approach to large deviations for diffusion processes , 2014, 1405.3910.

[29]  Hans Föllmer,et al.  Time reversal on Wiener space , 1986 .

[30]  C. Gardiner.  Stochastic Methods: A Handbook for the Natural and Social Sciences , 2009 .

[31]  Y. Brenier.  Polar Factorization and Monotone Rearrangement of Vector-Valued Functions , 1991 .

[32]  Richard Jordan,et al.  An Extended Variational Principle , 1995 .

[33]  C. Villani.  Topics in Optimal Transportation , 2003 .

[34]  Benjamin Jourdain,et al.  A trajectorial interpretation of the dissipations of entropy and Fisher information for stochastic differential equations , 2011, 1107.3300.

[35]  L. Bachelier,et al.  Théorie de la spéculation , 1900 .

[36]  Karl-Theodor Sturm,et al.  On the geometry of metric measure spaces , 2006 .

[37]  Edward Nelson.  Dynamical Theories of Brownian Motion , 1967 .

[38]  W. Schachermayer,et al.  A trajectorial interpretation of Doob's martingale inequalities , 2012, 1202.0447.

[39]  Z. Schuss.  Singular Perturbation Methods in Stochastic Differential Equations of Mathematical Physics , 1980 .

[40]  C. Villani,et al.  ON THE TREND TO EQUILIBRIUM FOR THE FOKKER-PLANCK EQUATION : AN INTERPLAY BETWEEN PHYSICS AND FUNCTIONAL ANALYSIS , 2004 .

[41]  L. Ambrosio,et al.  A User’s Guide to Optimal Transport , 2013 .

[42]  I. Gentil,et al.  An entropic interpolation proof of the HWI inequality , 2018, Stochastic Processes and their Applications.

[43]  O. Johnson.  Information Theory And The Central Limit Theorem , 2004 .

[44]  Stefan Adams,et al.  Large deviations and gradient flows , 2012, Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences.

[45]  Christian L'eonard,et al.  Transport Inequalities. A Survey , 2010, 1003.3852.

[46]  Pietro Siorpaes,et al.  Pathwise versions of the Burkholder-Davis-Gundy inequality , 2013, 1305.6188.

[47]  A. Kolmogoroff.  Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung , 1931 .

[48]  Thomas M. Cover,et al.  Elements of Information Theory , 2005 .

[49]  C. Villani.  Optimal Transport: Old and New , 2008 .

[50]  Ludwig Boltzmann,et al.  Vorlesungen über Gastheorie , 2009 .

[51]  Xiongzhi Chen.  Brownian Motion and Stochastic Calculus , 2008 .

[52]  S. A. Sherman,et al.  Providence , 1906 .