The engineer grapples with nonlinear problems

I do not believe that one could connect justly the name of Gibbs with practical applications of applied mathematics, for his main interest was certainly centered on basic conceptions of mathematical physics. Nevertheless, for example, his beautiful work on graphical methods in thermodynamics is a brilliant example of the presentation of theoretical relations in a form which appeals to the engineer. This lecture is intended as an effort to improve the convergence between the viewpoints of mathematics and engineering. Thus, I feel it is not inappropriate to dedicate it to the memory of Josiah Willard Gibbs. Engineering mathematics is generally considered as a collection of mathematical methods adapted for the solution of relatively simple problems. These problems often might require lengthy numerical calculations or graphical constructions, but supposedly can be worked out without the use of advanced methods of mathematical analysis. This description was perhaps correct some decades ago ; today a large group of scientific workers is engaged in applying various methods of classical and modern analysis to problems in electrical, civil, mechanical, aeronautical and also chemical engineering. It is not possible to give an exhaustive list of all types of problems which require the applications of advanced analytical methods. In the following table merely some of the most important engineering problems and the mathematical concepts and methods involved in their treatment are indicated :

[1]  W. Rankine.  II. On the stability of loose earth , 1857, Philosophical Transactions of the Royal Society of London.

[2]  Zur Theorie der Flüssigkeitsstrahlen , 1886 .

[3]  L. Rayleigh,et al.  XVII. On the maintenance of vibrations by forces of double frequency, and on the propagation of waves through a medium endowed with a periodic structure , 1887 .

[4]  John M'Cowan.  On the highest wave of permanent type , 1893 .

[5]  Kelvin.  On the Doctrine of Discontinuity of Fluid Motion, in Connection with the Resistance against a Solid Moving through a Fluid , 1894, Nature.

[6]  O. Reynolds.  On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion , 1995, Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences.

[7]  H. Blasius.  Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung , 1907 .

[8]  Sur la résistance des fluides , 1911 .

[9]  Karl Hiemenz,et al.  Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder , 1911 .

[10]  On the Maintenance of Combinational Vibrations by Two Simple Harmonic Forces , 1915 .

[11]  XI. The maintenance of vibrations by a periodic field of force , 1917 .

[12]  G. Duffing,et al.  Erzwungene Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung , 1918 .

[13]  Thomas Henry Havelock,et al.  Periodic irrotational waves of finite height , 1918 .

[14]  K. Pohlhausen,et al.  Zur näherungsweisen Integration der Differentialgleichung der Iaminaren Grenzschicht , 1921 .

[15]  Sur les solutions multiples des problèmes d'hydrodynamique relatifs aux mouvements glissants , 1921 .

[16]  T. Kármán.  Über laminare und turbulente Reibung , 1921 .

[17]  C. Carathéodory,et al.  Über die Hencky-Prandtlschen Kurven , 1923 .

[18]  H. Hencky,et al.  Über Einige Statisch Bestimmte Fälle Des Gleichgewichts In Plastischen Körpern , 1923 .

[19]  Das Umstülpen und Umkippen von elastischen Ringen , 1923 .

[20]  L. Prandtl,et al.  Anwendungsbeispiele zu einem Henckyschen Satz über das plastische Gleichgewicht , 1923 .

[21]  H. Hencky,et al.  Zur Theorie plastischer Deformationen und der hierdurch im Material hervorgerufenen Nachspannungen , 1924 .

[22]  Ein hydrodynamischer Unitätssatz , 1924 .

[23]  H. Hencky.  Über langsame stationäre Strömungen in plastischen Massen mit Rücksicht auf die Vorgänge beim Walzen, Pressen und Ziehen von Metallen , 1925 .

[24]  T. Levi-Civita,et al.  Détermination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie , 1925 .

[25]  Über die Spannungsverteilung in tordierten Stäben bei teilweiser Überschreitung der Fließgrenze , 1925 .

[26]  R. v. Mises,et al.  12. Bemerkungen zur Formulierung des mathematischen Problems der Plastizitätstheorie , 1925 .

[27]  D. Riabouchinsky.  On Some Cases of Two-Dimensional Fluid Motions , 1926 .

[28]  B. V. D. Pol,et al.  Frequency Demultiplication , 1927, Nature.

[29]  H. Glauert,et al.  The Effect of Compressibility on the Lift of an Aerofoil , 1928 .

[30]  Geoffrey Ingram Taylor,et al.  A Mechanical Method for Solving Problems of Flow in Compressible Fluids , 1928 .

[31]  Rumliche Spannungsverteilungen in festen Krpern bei plastischer Deformation , 1928 .

[32]  Resistance to a Barrier in the Shape of an Arc of a Circle , 1928 .

[33]  A. Busemann,et al.  Drücke auf kegelförmige Spitzen bei Bewegung mit Überschallgeschwindigkeit . , 1929 .

[34]  H. Bateman.  Notes on a Differential Equation Which Occurs in the Two-Dimensional Motion of a Compressible Fluid and the Associated Variational Problems , 1929 .

[35]  Leçons sur l'hydrodynamique , 1929 .

[36]  Die unstetige Strömung um einen Kreiszylinder , 1929 .

[37]  A. Reuss,et al.  Berücksichtigung der elastischen Formänderung in der Plastizitätstheorie , 1930 .

[38]  Verdichtungsstöße in ebenen Gasströmungen , 1930 .

[39]  Mehrdeutige Lösungen bei Potentialströmungen mit freien Grenzen , 1932 .

[40]  Die ebene kompressible Potentialströmung als Variations‐ und Eigenwertproblem , 1932 .

[41]  E. E. Sechler,et al.  The Strength of Thin Plates in Compression , 1932, Journal of Fluids Engineering.

[42]  Problèmes mixtes harmoniques en hydrodynamique des fluides ; parfaits , 1933 .

[43]  E. Trefftz,et al.  Zur Theorie der Stabilität des elastischen Gleichgewichts , 1933 .

[44]  Über ein Minimumproblem für Potentialströmungen mit freiem Rande , 1934 .

[45]  L. Howarth.  On the Calculation of Steady Flow in the Boundary Layer Near the Surface of a Cylinder in a Stream , 1934 .

[46]  B. V. D. Pol.  The Nonlinear Theory of Electric Oscillations , 1934 .

[47]  Buckling and Failure of Thin Rectangular Plates in Compression. , 1935 .

[48]  A. Busemann.  Gasströmung mit laminarer Grenzschicht entlang einer Platte , 1935 .

[49]  H. Schlichting.  Tragflügeltheorie bei Ueberschallgeschwindigkeit , 1936 .

[50]  Eine besondere Art von Luftbewegung , 1937 .

[51]  L. Crocco.  Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation. , 1937 .

[52]  On the Flow of a Compressible Fluid past a Circular Cylinder , 1938 .

[53]  Hsue-shen Tsien,et al.  Supersonic Flow over an Inclined Body of Revolution , 1938 .

[54]  C. Kaplan.  Two-dimensional subsonic compressible flow past elliptic cylinders , 1938 .

[55]  Maurice A. Biot,et al.  Theory of elasticity with large displacements and rotations , 1938 .

[56]  T. Kármán,et al.  Boundary Layer in Compressible Fluids , 1938 .

[57]  H. Görtler.  Zum Übergang von Unterschall‐ zu Überschallgeschwindigkeiten in Düsen , 1939 .

[58]  Contributions to the Mechanics of Solids , 1939, Nature.

[59]  T. Kármán,et al.  The Buckling of Spherical Shells by External Pressure , 1939 .

[60]  K. Friedrichs,et al.  The Non-Linear Boundary Value Problem of the Buckled Plate. , 1939, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America.

[61]  The Small Motion at the Nodes of a Vibrating String , 1911 .

[62]  I.The viscous layer associated with a circular cylinder , 1931 .