Analytical Solutions and a Numerical Algorithm for the Gauss's Hypergeometric Function 2F1 (a, b; c; z)

The paper deals with the derivation of the analytical solution of a definite elliptical integral of general type which appears in fracture mechanics. The closed-form solution is expressible in terms of the Gauss hypergeometric series 2F1 (a, b; c; z). As an alternative, the authors further present a suitable set of recurrence formulas and the accompanying starting solutions. Their application leads to other closed-form expressions for the elliptical integral which are offered in the Appendix. Therefore, as a new result, analytical expressions are given for the Gauss hypergeometric series 2F1 (a, b; c; z) for specific parameters a, b, c. A powerful algorithm for the numerical computation of 2F1 has been developed. In dieser Arbeit wird die analytische Losung eines bestimmten elliptischen Integrals vom allgemeinen Typ, das in der Bruchmechanik auftritt, berechnet. Die gefundene Beziehung enthalt die Gauss'sche hypergeometrische Reihe 2F1 (a, b; c; z). Alternativ dazu wird zur Berechnung ein Satz von Rekursionsformeln samt zugehorigen Startlosungen angegeben. Diese gestatten die formelmasige Berechnung verschiedenster elliptischer Integrale. Die so gewonnenen Ergebnisse werden im Anhang angefuhrt. Durch Vergleich der nach beiden Vorgangsweisen gefundenen Resultate gelingt es, neue geschlossene Ausdrucke fur 2f1 (a, b; c; z) fur eine Vielzahl von Parametern a, b, c anzugeben. Zur numerischen Berechnung von 2F1 wird weiter ein leistungsfahiger Algorithmus vorgestellt.