Resultats recents sur les courbes optimales

On se propose de faire un bilan de quelques résultats récents sur les conditions nécessaires pour qu’une courbe soit une solution du problème de minimisation d’une fonctionnelle réelle définie sur une famille de courbes dans R. On verra comment, par une série de généralisations successives, ces conditions ont évolué à partir de l’équation d’Euler-Lagrange jusqu’au principe du maximum de la théorie du contrôle, et comment celui-ci a été à son tour généralisé dans plusieurs directions. Vers 1990, cette évolution avait abouti à une prolifération de versions, sous des hypothèses techniques différentes et pour des problèmes divers, qui ne s’inscrivaient pas dans un cadre unique permettant de dériver tous les résultats à partir d’un petit nombre de principes généraux. Plus récemment, on s’est aperçu que la plupart de ces versions n’étaient en réalité que des cas particuliers d’un seul théorème sur les variations des flots, leur propagation par des différentielles généralisées , et l’existence de points d’intersection de deux ensembles transversaux . Ce théorème sera énoncé pour des calculs différentielles généralisés (CDGs) quelconques. On donnera un exemple nouveau de CDG, en définissant la notion de quotient différentiel généralisé , qui permet de démontrer une version très forte du principe du maximum.