Répartition asymptotique des valeurs propres de l’opérateur de Hecke _

La répartition asymptotique des valeurs propres des opérateurs de Hecke Tp, pour p premier variable, est un problème intéressant et difficile, sur lequel on ne dispose que de résultats partiels, cf. Shahidi [27]. Il va s’agir ici d’une question un peu différente, et qui s’avère nettement plus facile: on fixe un nombre premier p et l’on fait tendre vers l’infini le poids (ou le niveau, ou les deux à la fois) des formes modulaires considérées. Prenons par exemple le cas des formes paraboliques de poids k (avec k pair →∞) sur SL2(Z). D’après Deligne, les valeurs propres de Tp sur cet espace appartiennent à l’intervalle [−2p(k−1)/2, 2p(k−1)/2]. Si on les normalise en les divisant par p(k−1)/2, on obtient des points de l’intervalle Ω = [−2,+2]. Pour k donné, le nombre de ces points est k/12 + O(1); il tend vers l’infini avec k. On peut donc se poser un problème de distribution asymptotique: y a-t-il une mesure μ sur Ω suivant laquelle ces points sont équirépartis (au sens rappelé au n 1.1 ci-après)? Et, si oui, quelle est cette mesure μ? Le cas où l’on fait varier p (cf. [27]) suggère que μ pourrait être la mesure de Sato-Tate μ∞ = 1 π √ 1− x2/4 dx. Il n’en est rien. On trouve une mesure μp différente de μ∞, cf. n o 2.3; cette mesure intervenait déjà dans [17] et [19], à propos des valeurs propres de certains graphes, et elle a une interprétation simple en termes de mesures de Plancherel, cf. n 2.3. En fait, l’équirépartition suivant μp est un phénomène général. Elle vaut (n o 3.2, th. 1) pour toute suite (kλ, Nλ) de poids et de niveaux, avec kλ pair, Nλ premier à p et kλ + Nλ → ∞. Le principe de la démonstration consiste à utiliser la formule des traces d’Eichler-Selberg, et à remarquer que les termes “intéressants” de cette formule (ceux notés A2, A3 et A4 dans [24]) sont négligeables par rapport au terme “évident” (celui noté A1). Cette démonstration fait l’objet des §§3, 4. Les §§1, 2 contiennent divers préliminaires. Le §5 donne des variantes du th. 1, par exemple aux newforms (n 5.1). Le §6 contient des applications aux corps de rationalité des valeurs propres, et à la décomposition des jacobiennes J0(N) des courbes modulaires X0(N); par exemple (n 6.2, th. 7) la dimension du plus grand facteur Q-simple de J0(N) tend vers l’infini avec N . Les deux derniers §§ traitent de problèmes quelque peu différents. Le §7 s’occupe de familles de courbes algébriques sur Fq, de genres tendant vers l’infini: que peut-on dire de la distribution de leurs “angles de Frobenius”? Cette question a déjà été traitée par Tsfasman [31] et Tsfasman-Vlăduţ [32], par des arguments très semblables à ceux utilisés ici. Le résultat principal est le th. 8 du