Konstruktion von Zahlkörpern mit gegebener Galoisgruppe von Primzahlpotenzordnung.

Es soll hier die Aufgabe gelöst werden, über einem gegebenen Zahlkörper endlichen Grades einen Körper zu konstruieren, der normal über mit einer zu einer gegebenen Gruppe © von ungerader Primzahlpotenzordnung isomorphen Galoisgruppe ist. Diese Aufgabe läßt sich auf folgende zurückführen: Einen absoluten Normalkörper K mit zu © isomorpher Galoisgruppe zu konstruieren, dessen „Sockel" (K) eine zu einer gegebenen ganzen rationalen Zahl a teilerfremde Diskriminante hat. Dabei soll (K) das Kompositum aller zyklischen Teilkörper Z-ten Grades von K sein. — Ist nämlich diese Aufgabe gelöst, so wende ich sie auf den Fall an, daß die Diskriminante des zu gehörigen absoluten Normalkörpers N ist. Ist dann = N o K, so geht die Diskriminante von ( ) wegen ( )^ in a auf; anderseits ist sie, da offenbar ( ) ( ), prim zu a, also ist sie l, so daß ( ) der Körper P der rationalen Zahlen ist. Nun ist für einen beliebigen von P verschiedenen absoluten Normalkörper von /-Potenzgrad der Sockel P, da seine Galoisgruppe metazyklisch ist. Daher ist = P und damit erst recht /·> K = P, also ist / normal mit zu 6) isomorpher Galoisgruppe. Die in dieser zweiten Aufgabe geforderte Konstruktion geht so vor sich: Setze ich ©n = ®, ist weiter §„ für v = n, n — l, . .., l eine (stets existierende) Untergruppe der Ordnung / des Zentrums von ©„ und ist ®V/!QV = ©„—i, so ist entsprechend dieser Reihe von Faktorgruppen eine Reihe von absoluten Normalkörpern K0 <: Kx < · · · < Kn zu konstruieren, deren Galoisgruppen zu © 0 »© * · · · > ® isomorph sind und deren Sockel zu a prime Diskriminanten haben. Diese schrittweise zu vollziehende Konstruktion wird nun offenbar durch folgenden Einbettungssatz ermöglicht), dessen Voraussetzungen für v = l trivialerweise erfüllt sind: Liegt KV—I für ein v < n bereits vor und sind seine Diskriminantenteiler, soweit sie von l verschieden sind, fleißig (d. h. zerfallen sie in Primideale ersten Grades) und == l (mod ), so läßt sich K„_i in einen Körper einbetten, der absolut normal mit zu ®v isomorpher Galoisgruppe ist, dessen Diskriminantenteiler / wieder fleißig und == l (mod ) sind und dessen Sockel eine zu a prime Diskriminante hat. Ich beweise diesen Satz zunächst für den einfachen Fall, daß §, direkter Faktor ( *TM *__ *_N von ®„ ist. Es gibt eine nicht in a aufgehende Primzahl p, die in K^ive*, J/p1,. .., \/pk)