Sur une Variante des Fonctions Sequentielles

NOUS faisons reference aux Chapitres XI et XII du Trait6 de Eilenberg [l] pour la Gfinition et la Thkorie des fonctions (partielles) rationnelles et sequentielles gZnhalis&es d’un monoi’de libre dans un autre. Nous nous proposons de montrer ici qu’au prix d’une perte de simplicitk dans leur formulation certaines parties des theorZ?rnes classiques de Ginsburg et Rose [3] et ck Eilenberg s’appliquefit 5 we amille un peu iffkente que nous appellerons famlllc des fonctions sowskquentielles (sSq: . Dans ce qui suit A * et B * sont les monoi’des libres engendres par les ensembles A et B ; B * est consid& comme un sous-monoi’de du groupe libre B(*) (engendrk par B) et 0 est le zero de I’algkbre de B(*) sur 2%. Si X est une partie de A *, on peliera pour abreger function de X toute application de X dans l’union de B * et n’importe quelle function dont I’image est 0. a 0 un entier nature1 fixe. Pour chaque n 2 0 OIJ dksigne par l’ensemble A ‘M * \ A k+‘?4 * des mots de A * dont la longueur est comprise k:ntre k et k + n. LTI famille ssq est I’union sur tous les n finis des sous-familles sSq(n) des fonctions sous-skquentielles de dimension au plus n dont la definition est la suivante: