The infinite and infinitesimal quantities of du Bois-Reymond and their reception

The mixed fortunes of Paul du Bois-Reymond's infinitary calculus and ideal boundary between convergence and divergence are traced from 1870 to 1914. Cantor, Dedekind, Peano, Russell, Pringsheim and others objected. Stolz, Borel, Hardy and others accepted, at least in part, and built further. Hausdorff to some extent effected a compromise. The differing attitudes of the different participants toward infinitesimals and infinitely large quantities are described. In addition to shedding some light on the status of infinites, the whole story serves as a study of mathematical change, and shows that the “proof-refutation” process described by Lakatos is only one aspect of mathematical development. The story also sheds some light on the rise of 20th century functional analysis, algebra and topology.

[1]  Briefe von K. Weierstrass an Paul du Bois-Reymond , 1923 .

[2]  P. Bois-Reymond.  Ueber die Paradoxen des Infinitärcalcüls , 1877 .

[3]  Richard Dedekind et les fondements des mathématiques : avec de nombreux textes inédits , 1976 .

[4]  Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten , 1900 .

[5]  Georg Cantor.  Fondements d'une théorie générale des ensembles , 1883 .

[6]  Functional analysis in historical perspective , 1973 .

[7]  C. Perelman.  La méthode dialectique et le rôle de l'interlocuteur dans le dialogue , 1955 .

[8]  F. Hausdorff.  Grundzüge der Mengenlehre , 1914 .

[9]  Paul Bois-Reymond.  Sur la grandeur relative des infinis des fonctions , 1870 .

[10]  O. Stolz.  Ueber die Grenzwerthe der Quotienten , 1878 .

[11]  I. Lakatos,et al.  Proofs and Refutations: Frontmatter , 1976 .

[12]  Émile Borel,et al.  Mémoire sur les séries divergentes , 1899 .

[13]  Paul du Bois-Reymond.  Eine neue Theorie der Convergenz und Divergenz von Reihen mit positiven Gliedern. , 1873 .

[14]  Herbert Meschkowski.  Probleme des Unendlichen , 1967 .

[15]  Paul Bois-Reymond.  Erläuterungen zu den Anfangsgründen der Variationsrechnung , 1879 .

[16]  N. H. Bingham,et al.  THE DEVELOPMENT OF THE FOUNDATIONS OF MATHEMATICAL ANALYSIS FROM EULER TO RIEMANN , 1972 .

[17]  Abraham Robinson.  Ordered Differential Fields , 1973, J. Comb. Theory, Ser. A.

[18]  Jean-Pierre Bourguignon,et al.  Mathematische Annalen , 1893 .

[19]  Deutsche Mathematiker-Vereinigung.  Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 1892 .

[20]  É. Borel.  Leçons sur la théorie des fonctions , 2009 .

[21]  Herbert Meschkowski.  Aus den Briefbüchern Georg Cantors , 1965 .

[22]  Cauchy and the infinitely small , 1978 .

[23]  B. Russell.  The Principles of Mathematics , 1938 .

[24]  P. Bois-Reymond.  Ueber asymptotische Werthe, infinitäre Approximationen und infinitäre Auflösung von Gleichungen , 1875 .

[25]  Nicolas Bourbaki,et al.  Éléments d'histoire des mathématiques , 1971 .

[26]  R. H.,et al.  The Principles of Mathematics , 1903, Nature.

[27]  H. Mühlig.  K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 2) 5. berichtigte Auflage. XII + 582 S. m. 14 Textfig. Berlin/Heidelberg/New York 1964. Springer-Verlag. Preis geb. DM 48,— , 1965 .

[28]  G. Cantor.  Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten , 1883 .

[29]  G. Cantor,et al.  Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten , 1887 .

[30]  Hans Hahn,et al.  Entwickelung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen. Umarbeitung des im VIII. Bande der Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung erstatteten Berichts. Erste Halfte: Allgemeine Theorie der unendlichen Mengen und Theorie der Punktmengen , 1914 .

[31]  Cantor.  Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 5. Fortsetzung. , 1883 .

[32]  O. Stolz.  Zur Geometrie der Alten, insbesondere über ein Axiom des archimedes , 1883 .

[33]  The Genesis of Point Set Topology. , 1964 .

[34]  Herbert Meschkowski.  Probleme des Unendlichen ; Werk und Leben Georg Cantors , 1967 .

[35]  A. Schoenflies,et al.  Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten : Bericht erstattet der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 1908 .

[36]  J. Hadamard.  Sur les caractères de convergence des séries a termes positifs et sur les fonctions indéfiniment croissantes , 1894 .

[37]  K. Popper,et al.  Conjectures and refutations;: The growth of scientific knowledge , 1972 .

[38]  G. Cantor.  Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen , 1872 .

[39]  Abraham Adolf Fraenkel,et al.  Abstract set theory , 1953 .

[40]  Felix Klein.  Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus , 1967 .

[41]  R. Dedekind,et al.  Gesammelte mathematische Werke , 1932 .

[42]  Johannes Thomae,et al.  Abriss einer Theorie der complexen Functionen und der Thetafunctionen einer Veränderlichen , 2022 .

[43]  K. Knopp.  Theorie und Anwendung der Unendlichen Reihen , 1924 .

[44]  Mary Tiles,et al.  Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. , 1982 .

[45]  W. D. Wightman,et al.  Growth of Scientific Knowledge , 1964, Nature.