Le probleme logique de la definition des nombres irrationnels

Une legende rapporte ( Ique l'auteur de la theorie des incommensurables fut englouti dans un nau,frage. C'est ainsi que le Ciel Ipunit celui qui avaitl ( exprime l'inexprimable, represente l'infigurable, d6voile ce qui elit du rester toujours cache )) (1). La d6ecouverte ,de l'existence de normbres irrationnels par l'ecole pythagoricien,ne est effectivement un des evenements les plus considerables de l'histoire des m,ath6matiques, en memme temips qu'un veniement important de l'histoire de la philosophie. Par oette decouverte, l'ecole de Pythagoree se uicidait pour ainsi dire, en portant elle-m6me un coup fatal a sa doctiine de l'harmonie ;des nombres: et c'est sains doute la raison des impr6cations legendai!res qui viennent Id'tre rappel6es. Mais ce qui nous interesse surtout, ici, c'est la repercussion de cette decouverte sur l'orientation des sciences mathematiques encore dans l'enfance a cette 6poque. Les pythagoriciens avaient pou;ssi l'tUude des math6matiques dans deux directions ,principales: l'arithmettique, c'est-a-dire l'etude des proprietes des nombres naturels, et la g6om6trie, qu'ils basaient surtout sur la *notion ide rapport rationnel des grandeurs (comme nous devonis le dire aujourd'hui, malgr6 le pl&onasme apparent, pour indiquer qu'il ne s'iagissait que de rapiports de grandeurs commensurables). Ils invetentrent notamment l'algorithme bien connu qui permiet de trouver la plus grande commune mesure dee deux grandeurs (segments de droite). Ils s'occuperent auissi 'de 1l'etude de relations metriques ientre les Blements de diverses figures g6ometriques, et rencontr/rent notamment la celebre propriete des triangles rectangles, qui porte maintenant le nom de PYTHAGORE. C',est en voulant appliqiuer au .tiria,ngle rectangle particulier idont les ,deux cathetes sont 6gaux leurs th,eori!e