Sur une classe de problèmes de dénombrement liés au treillis des partitions des entiers

ion faite du facteur constant que l'on a sorti du signe !L dans la ligne (74), la somme Sh fait donc intervenir D = £ ( l ) b " k ( b ^ k ) R(a + k), qui n'est autre que la différence b-ième, pour t = a, de R(t). Pour que le lemme s'applique, il importe de s'assurer que a et b sont bien des entiers positifs satisfaisant à a < b. Or a est bien positif puisque a = h 1 et que l'on a pris h ^ 2 ; d'autre part h a été pris au plus égal à a, donc a = h 1 < a, et comme on a supposé a b, on a bien a < b. Le lemme 3.2.8. s'applique donc, et permet d'affirmer que D = 0, donc Sh = 0. Les sommes partielles Sh étant en fin de compte toutes nulles , le calcul fait à partir de la formule (73) établit bien que Pa'.b(b 1) = 0. Les propriétés (i) (ii) et (iii) des polynômes b(z) étant ainsi vérifiées, il en résulte, comme on l'a fait remarquer à la fin du §3.2.6, que ces polynômes sont bien identiques aux polynômes P a ? b(z) introduits au §3.2.3. Il s'ensuit finalement que la formule (66), qui avait été établie en définissant cp(h, k) par Ph k ( h k), est encore vraie si l'on définit cp(h, k) à l'aide de la formule (6 7), complétée par 9(0, 0) = 1, cp(l , 0) = cp(0, 1) = 1.