Non-equilibrium models for diffusive cavitation of grain interfaces

Abstract Existing models for the diffusive growth of voids on grain interfaces, at elevated temperature, are for the most part based on quasi-equilibrium assumptions: surface diffusion is assumed to be sufficiently rapid that the cavity has a rounded, equilibrium shape, and hence cavity growth is assumed to be rate-limited only by grain boundary diffusion. However, creep rupture cavities sometimes have narrow, crack-like shapes and it is appropriate to investigate non-equlibrium models for diffusive rupture. We do so here by comparing the quasi-equilibrium model to another limiting case based on a narrow, crack-like cavity shape. Criteria for choosing between the models are given on the basis of representative relaxation times for the surface diffusion process, and also by examining the properties of a ‘self-similar’ solution for cavity shape. By a suitable choice of parameters which measure the growth rate, this solution can be made to give results corresponding to either limiting case, and aids the interpolation between them. The results suggest that if s is the ratio of the applied stress to that which just equilibrates cavities against sintering, then for circular cavities on a grain boundary with diameter equal to a quarter of their average center-to-center spacing, the quasi-equilibrium mode applies when s 2 + 9δ. Here δ is the ratio of surface to grain boundary diffusivity. Also, the stress dependence of the growth rate and rupture lifetime is established in each case, and the results are discussed in relation to the interpretation of experimental data. Resume—La plupart des modeles de la croissance des cavites intergranulaires par diffusion, aux temperatures elevees, reposent sur des hypotheses de quasi-equilibre: on suppose que la diffusion en surface est suffisamment rapide pour que la cavite ait une forme spherique d'equilibre, de sorte que la vitesse de croissance de la cavite n'est limitee que par la diffusion intergranulaire. Cependant, les cavites de rupture en fluage ont parfois des formes etroites, ressemblant a des fissures, si brin qu'il est utile d'etudier des modeles hors-d'equilibre de la rupture par diffusion. C'est ce que nous faisons ici, en comparant le modele de quasi-equilibre a un autre cas limite, qui repose sur une forme etroite de la cavite, analogue a une fissure. On donne les criteres qui permettent de choisir entre les deux modeles a partie de temps de relaxation representatifs pour le mecanisme de diffusion superficielle, et egalement en etudiant les proprietes d'une solution “semblable a elle-meme” pour la forme de la cavite. En choisissant convenablement les parametres qui mesurent la vitesse decroissance, la solution peut donner les resultats de l'un ou de l'autre des cas limites, ce qui facilite l'interpolation entre ceux-ci. Nos resultats montrent que si s est le rapport de la contrainte appliquee a celle qui equilibre juste la cavitation par rapport au frittage, dans le cas de cavites intergranulaires circulaires dont le diametre est egal au quart de leur distance moyenne de centre a centre, le mode de quasi-equilibre s'applique lorsque s 2 + 9δ. δ est ici le rapport de la diffusite en surface a la diffusivite intergranulaire. Nous avons egalement obtenu dans chaque cas la variation de la vitesse de croissance et de la duree avant rupture en fonction de la contrainte; ces resultats sont discutes en liaison avec les resultats experimentaux. Zusammenfassung—Die vorhandenen Modelle fur das Wachstum von Hohlraumen an Korngrenzflachen bei hoheren Temperaturen uber Diffusionsprozesse bauen uberwiegend auf der Annahme von Quasi-Gleichgewicht auf: die Oberflachendiffusion wird als genugend schnell angenommen, so das der Hohlraum die runde Gleichgewichtsform annimmt; das Hohlraumwachstum wird also nur von der Korngrenzdiffusion bestimmt. Allerdings haben Hohlraume nach Kriechbruch manchmal eine enge, risahnliche Form; daher scheint es geraten, Nichtgleichgewichtsmodelle des diffusionsinduzierten Bruches zu untersuchen. Hier wird das Quasigleichgewichtsmodell mit einem Modell fur den Grenzfall der engen risahnlichen Hohlraumform verglichen. Es werden Kriterien fur die Wahl zwischen beiden Modellen angegeben, die auf den fur die Oberflachendiffusionsprozesse typischen Relaxationszeiten aufbauen, und die auserdem aus den Eigenschaften einer “selbstahnlichen” Losung fur die Hohlraumform erhalten wurden. Mit einer passenden Auswahl der Parameter fur die Wachstumsrate kann diese Losung so gestaltet werden, das sie Ergebnisse fur jeden der beiden Grenzfalle entsprechend liefert und Interpolationen erleichtert. Die Ergebnisse legen folgendes nahe: ist s das Verhaltnis zwischen angelegter Spannung und der Spannung, die gerade die Hohlraume vor dem Sintern bewahrt, dann last sich fur einen runden Hohlraum an einer Korngrenze mit einem Durchmesser von einem Viertel des gegenseitigen mittleren Abstandes das Quasigleichgewichtsmodell anwenden, wenn s 2 + 9δ, anwenden. Hierbei ist δ das Verhaltnis zwischen Oberflachen- und Korngrenzdiffusivitat. Auserdem werden die Spannungsabhangigkeit von Wachstumsrate und Bruchstandzeit fur beide Falle bestimmt; die Ergebnisse werden im Hinblick auf Interpretation experimenteller Daten diskutiert.