Combinatorial and algorithmic aspects of identifying codes in graphs. (Aspects combinatoires et algorithmiques des codes identifiants dans les graphes)

Un code identifiant est un ensemble de sommets d'un graphe tel que, d'une part, chaque sommet hors du code a un voisin dans le code (propriete de domination) et, d'autre part, tous les sommets ont un voisinage distinct a l'interieur du code (propriete de separation). Dans cette these, nous nous interessons a des aspects combinatoires et algorithmiques relatifs aux codes identifiants.Pour la partie combinatoire, nous etudions tout d'abord des questions extremales en donnant une caracterisation complete des graphes non-orientes finis ayant comme taille minimum de code identifiant leur ordre moins un. Nous caracterisons egalement les graphes diriges finis, les graphes non-orientes infinis et les graphes orientes infinis ayant pour seul code identifiant leur ensemble de sommets. Ces resultats repondent a des questions ouvertes precedemment etudiees dans la litterature.Puis, nous etudions la relation entre la taille minimum d'un code identifiant et le degre maximum d'un graphe, en particulier en donnant divers majorants pour ce parametre en fonction de l'ordre et du degre maximum. Ces majorants sont obtenus via deux techniques. L'une est basee sur la construction d'ensembles independants satisfaisant certaines proprietes, et l'autre utilise la combinaison de deux outils de la methode probabiliste : le lemme local de Lovasz et une borne de Chernoff. Nous donnons egalement des constructions de familles de graphes en relation avec ce type de majorants, et nous conjecturons que ces constructions sont optimales a une constante additive pres.Nous presentons egalement de nouveaux minorants et majorants pour la cardinalite minimum d'un code identifiant dans des classes de graphes particulieres. Nous etudions les graphes de maille au moins 5 et de degre minimum donne en montrant que la combinaison de ces deux parametres influe fortement sur la taille minimum d'un code identifiant. Nous appliquons ensuite ces resultats aux graphes reguliers aleatoires. Puis, nous donnons des minorants pour la taille d'un code identifiant des graphes d'intervalles et des graphes d'intervalles unitaires. Enfin, nous donnons divers minorants et majorants pour cette quantite lorsque l'on se restreint aux graphes adjoints. Cette derniere question est abordee via la notion nouvelle de codes arete-identifiants.Pour la partie algorithmique, il est connu que le probleme de decision associes a la notion de code identifiant est NP-complet meme pour des classes de graphes restreintes. Nous etendons ces resultats a d'autres classes de graphes telles que celles des graphes split, des co-bipartis, des adjoints ou d'intervalles. Pour cela nous proposons des reductions polynomiales depuis divers problemes algorithmiques classiques. Ces resultats montrent que dans beaucoup de classes de graphes, le probleme des codes identifiants est algorithmiquement plus difficile que des problems lies (tel que le probleme des ensembles dominants).Par ailleurs, nous completons les connaissances relatives a l'approximabilite du probleme d'optimisation associe aux codes identifiants. Nous etendons le resultat connu de NP-difficulte pour l'approximation de ce probleme avec un facteur sous-logarithmique (en fonction de la taille du graphe instance) aux graphes bipartis, split et co-bipartis, respectivement. Nous etendons egalement le resultat connu d'APX-completude pour les graphes de degre maximum donne a une sous-classe des graphes split, aux graphes bipartis de degre maximum 4 et aux graphes adjoints. Enfin, nous montrons l'existence d'un algorithme de type PTAS pour les graphes d'intervalles unitaires.